Quantencomputer, die theoretischen Grundlagen
⦁ Autor: Rhett Allain.
⦁ Rhett Allain
Wissenschaft
⦁ Datum der Veröffentlichung: 03.25.16.
03.25.16
⦁ Zeitpunkt der Veröffentlichung: 14:31. 14:31
Sie können Quantum Mechanics klassische
Teilchen in einem Box-Problem mit Code lösen.
Die Menschen haben Probleme mit der
Quantenmechanik. Wir haben hervorragende Intuition über die Bewegung
eines Tennisballs warf in der Luft, aber was ist mit einem Elektron in
einem Kasten eingeschlossen? Die Tendenz ist die Verwendung der gleichen
Tennis-Ball-Regeln und wenden Sie es auf das Elektron – aber es
funktioniert nicht. Wir haben verschiedene Modelle zu verwenden, um
Eigenschaften der sehr sehr kleinen Dinge zu erklären. Wir nennen diese
Quantenmechanik (im Gegensatz zur klassischen Mechanik).
Natürlich kann ich nicht gehen über alle
Details der Quantum Mechaniker, also lassen Sie mich Ihnen die gekürzte
Fassung.
⦁ Wenn Menschen Kleinigkeiten studierte,
bemerkten sie, dass klassische Modelle nicht funktionierte.
⦁ Vor allem schien es klar, dass das Elektron
"Bahnen" in die Wasserstoff-Atom nur bei bestimmten Energien existieren
könnte.
⦁ In einem weiteren Experiment wurde
festgestellt, dass Elektronen durch Schlitze shooting Interferenzmuster
Welle Störung ähnlich verursachen würde.
⦁ Warum nicht nur sagen, dass Partikel eine
Wellennatur haben? Warum nicht nur eigen irgendeine Art von
Wellengleichung für Partikel zu?
OK, ist es nicht passiert genau so – aber Sie
get the Idea. Aus diesen Ideen bekommen wir die Schrödinger-Gleichung.
Es ist ziemlich kompliziert, so lassen Sie mich zunächst die
vereinfachte Version dieser Gleichung — der Zeit unabhängigen
Schrödinger-Gleichung. Dies ist wahrscheinlich das, was Sie sehen
werden, wenn Sie zuerst in der Quantenmechanik beginnen.
Was zum Teufel ist das? Lassen Sie mich einige
Bemerkungen machen.
⦁ Dies ist die eindimensionale TISE, in dem
die Variable nur x ist.
⦁ Ψ wird die Wellenfunktion bezeichnet. Es ist
der Teil, der "winken" ist, wenn man bedenkt, dass die Wellennatur der
Materie. Aber genau wie die die Intensität des Lichts ist proportional
zum Quadrat des elektrischen Feldes, die beobachtbare Sachen hängt | ψ
|2.
⦁ | Ψ |2 gibt Ihnen die
Wahrscheinlichkeitsdichte – Hiermit können Sie die wahrscheinlich
Standorte des Teilchens bestimmen. In der Quantenmechanik nicht
beschäftigen wir uns mit Bewegungsgleichungen, wir beschäftigen uns mit
Wahrscheinlichkeit.
⦁ E ist die Energie der Teilchen und V ist die
potentielle Energie des Systems. Ja, es ist seltsam, dass wir für
potentielle Energie statt U V verwenden (normalerweise V ist das
elektrische Potential). Ich habe keine Ahnung warum.
⦁ ℏ ist eine konstante und m die Masse des
Teilchens.
Das ist Ihre schnelle Einführung in die
Quantenmechanik.
Teilchen in einer Box
Das erste Problem, das Sie in der
Quantenmechanik löst ist ein Partikel in einer Box. Angenommen, es gibt
ein eindimensionalen Kasten mit supersteif Wände. Es ist ein Ball in der
Kiste, die mit keinen Energieverlust hin und her hüpfen kann.
Wie verwenden Sie die TISE, um die
Wellenfunktion für diesen Fall zu finden? Nun, wir haben bereits eine
Differentialgleichung – aber auch eine Lösung für ψ muss folgende
Voraussetzungen erfüllen.
⦁ Es muss kontinuierlich sein.
⦁ Ψ muss Null in Regionen, wo das Teilchen
nicht gefunden werden kann (wie außerhalb der Box).
⦁ Wie X, +/-unendlich geht, muss ψ gegen Null
gehen.
⦁ Ψ muss normalizable sein. Dies bedeutet,
dass Sie in der Lage sein zu integrieren | ψ |2 über alle x und setzen
Sie ihn gleich eins. Dies ist dasselbe wie sagen, dass die
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo 1 von 1 ist.
Wir brauchen nur noch eins – ein Ausdruck für
die potentielle Energie. Wenn wir eine Kiste mit Wänden bei X = 0 und X
= L, dann wird das Potential Null von X = 0 bis L und unendliche überall
sonst. Nun es ist nur eine Frage der Lösung der Differentialgleichung
und gelten die oben genannten Bedingungen.
Ich werde diesen Teil überspringen, weil ich
wirklich wollen, um eine numerische Lösung zu bekommen. Sollten Sie
durch diese Arbeiten selbst, es ist auch wahrscheinlich in Ihrem
Lehrbuch der Physik. Allerdings ist dies die Lösung für die
Wellenfunktion innerhalb des Kastens (außerhalb es ist null).
Für die Wellenfunktion A ist nur ein paar
Konstanten (Sie können dies durch Normalisierung zu finden) und n ist
eine Ganzzahl. Da Sie eine sinusförmige Lösung für die Wellenfunktion
mit einer Randbedingung haben, funktionieren mehrere Werte von n . Mit
ganzzahligen Werte von nbekommen wir auch die quantisierten Energiewerte
wie oben gezeigt.
1926 veröffentlichte Schrödinger ein Papier
beschreibt seine Ideen. Der Titel des Papiers war "Wellenmechanik" –
nicht die Quantenmechanik. Dies ist wichtig, da es die Wellennatur der
Materie ist, die quantisierte Energien führt. Ich möchte nur darauf
hinweisen, dass.
Numerische Lösung für ein Teilchen in einer
Box
Die analytische Lösung für das unendliche
Quadrat ist auch nichts Neues. Sie finden in jedem
Intro-Quantenmechanik-Lehrbuch. Aber wie können wir es numerisch lösen?
Nur um klar, "numerisch" heißt den Prozess der Unterbrechung ein Problem
in viele kleinere Probleme (sehen Sie viele Beispiele hier).
Die Schrödinger-Gleichung ist eine
Differentialgleichung. Es stellt eine Verbindung zwischen der zweiten
Ableitung vonψ (d2Ψ/dx2) und ψ. Die gleiche Idee können wir um die
aktuelle Position eines Teilchens mit einer Kraft, die Zahlenwerte der
Wellenfunktion zu finden zu finden. Erinnern Sie diese grundlegende
Strategie von einer numerischen Berechnung in der klassischen Mechanik
(wo p ist die Dynamik):
Ich kann das gleiche mit der Wellenfunktion.
Lassen Sie mich Dot-Notation verwenden, um die Ableitung darzustellen
(ψ-Punkt ist die erste Ableitung und ψ-Doppel Punkt ist die zweite).
Dies gibt die folgende Näherung (technisch, ich bin mit der Dot-Begriff
nicht falsch aber wir tun es trotzdem).
Beachten Sie, dass ich mit ψ-dot2 um den neuen
Wert ψ zu berechnen. Das ist natürlich falsch, dass ich tatsächlich die
durchschnittliche ψ-Dot verwenden soll. Das funktioniert allerdings
noch, wenn Δx klein ist. Jetzt habe ich folgende Rezept:
⦁ Beginnen bei X = 0 m und ψ = 0 (auch ich
hole ψ-Punkt gleich Null).
⦁ Ψ-Double Dot berechnen mithilfe Schrödingers-Gleichung.
⦁ Verwenden Sie ψ-Doppel Punkt ψ-Dot zu
berechnen.
⦁ Verwenden Sie ψ-Punkt ψ zu berechnen.
⦁ Aktualisieren Sie die X-Position und es
wieder tun, bis Sie ans Ende des Feldes.
Aber warten Sie! Was ist mit der Energie (E)
in der Schrödinger-Gleichung? Für den Moment denke nur einen Wert für
die Energie. Fangen wir mit E = 0. Schieben Sie einfach die Taste "Play"
um den Code auszuführen.
Eindeutig eine Energie von Null funktioniert
nicht, da die Wellenfunktion Null nicht bei X = L. Vielleicht sollten
wir versuchen, eine andere Energie. Wählen Sie einfach etwas (Ich
schlage vor, einen Wert von 1 – 10). Gehen Sie voran und ändern Sie den
Code (Klicken Sie auf das Bleistift-Symbol bearbeiten, wenn Sie den Code
nicht sehen) und führen Sie es dann erneut. Wie Sie sehen, wie Sie die
Energie über 0 erhöhen, die Wellenfunktion näher und näher an Null
bekommt bei X = L. Natürlich könnte Sie nur raten zu halten bis eine
Lösung zu finden, oder wir könnten den Computer dafür machen.
Hier ist ein anderes Programm, das die Energie
für die ψ findet = 0 an X = L. Es ist die "shooting-Methode" genannt, da
wir ψ wieder berechnen, bis wir die richtige Antwort bekommen. Es ist
irgendwie wie eine Kugel auf ein Ziel schießen, ändern die Launch-Winkel
und reshooting bis wir das Ziel zu treffen.
Schauen wir uns den Code und dann werde ich
einige Teile davon hinweisen.
Ein paar Hinweise zu verschiedenen Zeilen im
Code (mit der Linie):
⦁ 11. ich beginnen mit E = 0, aber ich werde
diesen Wert erhöhen. dE ist der Betrag, den ich in jeder Wiederholung zu
erhöhen. Man könnte dies auf einen kleineren Wert ändern, wenn Sie eine
genauere Lösung wollen.
⦁ 12. ich mache eine boolesche Variable namens
"suchen". Wenn ich einen Wert für die Energie zu finden, dass Werke, ich
nicht mehr auf der Suche sein wird also auf der Suche werden auf False
gesetzt werden.
⦁ 13. Dies ist die Schleife, die die beste
Energie sucht.
⦁ 14. rate(1000) sagt mehr als 1000 Loops pro
Sekunde nicht zu tun, so dass Sie sehen können, wie sich die Sache
ändert.
⦁ 15 – 18. Ich brauche die Variablen
zurückgesetzt, bevor die Differentialgleichung zu lösen. F1.Delete()
löscht die vorherige Grafik.
⦁ 19. Dies ist die gleiche Schleife wie das
vorherige Programm, in dem die Lösung Schrödinger-Gleichung gelöst ist.