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Quanten-Syteme



 

1.2 Informations-übertragung

2 Natürlich-verschränkte Systemeung

3 Erzeugung verschränkter Systeme

4 Anwendungen

5 Mathematische Betrachtung

6 Test auf Verschränkung

7 Siehe auch

8 Literatur

Literatur

Quantencomputer, die theoretischen Grundlagen

Quantenverschränkung
Anwendungen
Quantenschlüsselaustausch: Sicherer Austausch von Schlüsseln zwischen zwei Kommunikationspartnern zur verschlüsselten Übermittlung von Information. Der Austausch ist sicher, weil es nicht möglich ist, ihn ohne Störung abzuhören. Die austauschenden Partner können daher ein „Mithören“ beim Schlüsselaustausch bemerken.
Quantencomputer: Bei Berechnungen mittels Qubits auf einem Quantencomputer wird bei manchen Algorithmen die Verschränkung von Qubits untereinander genutzt. Mit Quantencomputern könnten Probleme gelöst werden, die mit konventionellen Computern zwar prinzipiell lösbar sind, jedoch nur mit nicht realisierbarem Zeitaufwand.
Generell ist die Erzeugung verschränkter Systeme nicht einfach, weshalb bisher kein praktisch anwendbarer Quantencomputer für komplexe Berechnungen existiert. 2010 gelang es einem Team amerikanischer Wissenschaftler, mithilfe des „Frequenzkamm“-Prinzips verschränkte atomare Qubits auf relativ einfache Weise zu erzeugen.[8] Dennoch ist der Quantencomputer gegenwärtig noch ein überwiegend theoretisches Konzep0t.


Mathematische Betrachtung
Die folgende Diskussion setzt Kenntnisse in der Bra-Ket-Notation und der allgemeinen mathematischen Formulierung der Quantenmechanik voraus.
Es seien zwei Systeme und mit den Hilbert-Räumen und gegeben. Der Hilbert-Raum des zusammengesetzten Systems ist der Tensorproduktraum . Das System sei im reinen Zustand und System im reinen Zustand . Dann ist der Zustand des zusammengesetzten Systems ebenfalls rein und gegeben durch:

Reine Zustände, die sich in dieser Form schreiben lassen, nennt man separabel oder Produktzustände.
Wählt man Orthonormalbasen und der Hilbert-Räume und , dann kann man die Zustände nach diesen Basen entwickeln und erhält mit komplexen Koeffizienten und :

Ein allgemeiner Zustand auf hat die Form:

Die separablen Zustände von sind die, deren Koeffizienten die Darstellung erlauben, also die wie oben faktorisiert werden können. Ist ein Zustand nicht separabel, so nennt man ihn verschränkt.
Zum Beispiel seien zwei Basisvektoren von und zwei Basisvektoren von gegeben. Dann ist der folgende Zustand, der sog. „Singulett-Zustand“, verschränkt:[9]

Wenn das zusammengesetzte System in diesem Zustand ist, haben weder noch einen bestimmten Zustand, sondern ihre Zustände sind überlagert und die Systeme sind in diesem Sinne verschränkt.
Als quantenmechanische Messwerte können nur Eigenwerte hermitescher Operatoren auftreten. Seien nun also „Messoperatoren“ in jedem der beiden Teilsysteme und gegeben, welche die folgenden beiden Eigenwertgleichungen erfüllen:
.
Durch das Tensorprodukt mit dem Einsoperator kann man mit obigen Messoperatoren der Teilsysteme einen Operator auf dem Tensorproduktraum erzeugen, wobei das System, an dem gemessen wird, dann im Subskript notiert ist:

Man nehme an, Alice beobachte System , Bob System . Wenn Alice die Messung durchführt, können mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Ergebnisse auftreten:[10]
Alice misst , und der Zustand des Systems kollabiert zu
Alice misst , und der Zustand kollabiert zu
Im ersten Fall wird jede weitere Messung durch Bob immer ergeben, im zweiten Fall immer . Also wurde das System durch die von Alice durchgeführte Messung verändert, auch wenn A und B räumlich getrennt sind. Hier liegt das EPR-Paradoxon begründet, und auch die sog. Quantenteleportation.
Das Ergebnis von Alices Messung ist zufällig, sie kann nicht den Zustand bestimmen, in den das System kollabiert, und kann daher durch Handlungen an ihrem System keine Informationen zu Bob übertragen. Eine mögliche Hintertür: Sollte Bob mehrere exakte Duplikate der Zustände machen können, die er empfängt, könnte er auf statistischem Weg Informationen sammeln – das No-Cloning-Theorem beweist aber die Unmöglichkeit des Klonens von Zuständen. Daher wird – wie oben erwähnt – die Kausalität nicht verletzt.
Der Grad der Verschränkung eines Zustandes wird monoton durch die Von-Neumann-Entropie des reduzierten Dichteoperators des Zustandes gemessen. Die Von-Neumann-Entropie des reduzierten Dichteoperators eines unverschränkten Zustandes ist null. Dagegen ist die Von-Neumann-Entropie eines reduzierten Dichteoperators eines maximal verschränkten Zustandes (wie z. B. eines Bell-Zustandes) maximal.[11]
Hier sei noch darauf hingewiesen, dass es neben den oben besprochenen verschränkten reinen Zuständen (denen die reinen Produktzustände – ohne Verschränkung – gegenüberstehen) die verschränkten gemischten Zustände gibt (denen die gemischten Produktzustände – ohne Verschränkung – gegenüberstehen).


Test auf Verschränkung
Für einen reinen verschränkten Zustand eines Systems, das sich aus einem Teilsystem 1 und einem Teilsystem 2 zusammensetzt, gilt . Bildet man die Partialspur über eines der beiden Systeme (z. B. System 1), so erhält man den reduzierten Dichteoperator . Betrachtet man nun das Quadrat des reduzierten Dichteoperators und ist dieses ungleich , so beschreibt der reduzierte Dichteoperator ein Gemisch[12] und somit beschreibt einen verschränkten Zustand. Denn bei einem verschränkten Zustand erzeugt die wiederholte Messung an einem System ein klassisches Gemisch von Zuständen im anderen System. Läge ein nicht-verschränkter Zustand vor, so würde die Messung an einem System den Zustand im anderen System nicht verändern.
Alternativ zu obigem Test kann die Schmidt-Zerlegung durchgeführt werden. Falls die Schmidt-Zerlegung mehr als einen Term hat, ist der Zustand verschränkt.[13]


Siehe auch
Emergenz
Kohärenz (Physik)
Dekohärenz
Quanteninformation
Quantenkanal
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Helmut Fink: Interpretation verschränkter Zustände: Die Quantenwelt – unbestimmt und nichtlokal? In: Physik in unserer Zeit. 4/2004, S. 168–173.
Anton Zeilinger: Einsteins Schleier – Die neue Welt der Quantenphysik. Goldmann, München 2005, ISBN 3-442-15302-6.
Anton Zeilinger: Einsteins Spuk – Teleportation und weitere Mysterien der Quantenphysik. Bertelsmann, München 2005, ISBN 3-570-00691-3.
Jürgen Audretsch: Verschränkte Systeme – die Quantenphysik auf neuen Wegen. Wiley-VCH, Weinheim 2005, ISBN 3-527-40452-X.
Ingemar Bengtsson, Karol Zyczkowski: Geometry of quantum states – an introduction to quantum entanglement. Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-81451-0.
Andreas Buchleitner et al.: Entanglement and decoherence – foundations and modern trends. Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-88168-1.
Howard Wiseman: Bell’s theorem still reverberates. Nature Comment, 19. Juni 2014.

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